Filmphysik ernstgenommen - Luke Skywalker und das Tauntaun

Luke auf dem Tauntaun (C) Julia Gingras
Luke auf dem Tauntaun (C) Julia Gingras

Filmphysik ernstgenommen

Üblicherweise werden ja Filme aufgrund ihrer Filmphysik, das heißt der recht freien Auslegung bzw. Ignorierung von Naturgesetzen kritisiert. Ich möchte hier mal den umgekehrten Weg gehen. In dieser Artikelserie nehmen wir was im Film passiert ernst, und sehen uns an was das für Konsequenzen hat wenn die üblichen Naturgesetze gelten.

Dieser Artikel steht also im Kontrast zu jenem. In diesem wird erklärt weshalb Luke Skywalker mit ziemlicher Sicherheit an Hypothermie versterben wird - und das obwohl Han Solo ihn im Inneren des verstorbenen Tauntauns verstaut. Dabei trifft der Artikel aber einige fehlerhafte Annahmen - zum Beispiel wird die Masse des Tauntauns nicht mitberücksichtigt. Oder diesem wo stark vereinfacht abgeschätzt wird, wie lange es dauert bis das Tauntaun auskühlt. Auch die Mythbusters haben sich bereits damit befasst, allerdings mit nicht ganz so klirrend kalten Temperaturen und ohne Wind.

Wir gehen hier also - weil ich es ewig schon selber nachrechnen wollte und es ein sehr interessantes Beispiel ist - folgender Frage nach:

Welche Eigenschaften muss das Tauntaun haben damit Luke die Zeit übersteht die Han benötigt um das Notquartier bereit zu machen?

Was im Film passiert

Für alle die die Szene nicht kennen - hier eine kurze Zusammenfassung: Ein verletzter Luke Skywalker ist verschollen am Eisplaneten Hoth. Die Nacht kommt immer näher und die Temperaturen fallen stark. Leia, Han, C3PO und R2D2 sind nervös weil der Protagonist noch nicht zurückgekehrt ist, und Han Solo beschließt ihn zu suchen. Er findet ihn auch, allerdings ziemlich erledigt. Das Tauntaun - das Reittier auf dem Han unterwegs ist - kollabiert nun aus unbekannten Gründen. Eine Rückkehr zur Basis noch vor Einbruch der Nacht ist damit nicht mehr möglich. Han schneidet also kurzerhand den Bauch des Tauntauns auf und stopft den erledigten Luke Skywalker hinein um ihn vorm Kältetod zu bewahren während er ein Notquartier errichtet. Ok das mit dem hineinstopfen sieht man im Film nicht, es passiert aber laut Skript!

Die nötige Physik

In den beiden Boxen unterhalb gehts es nun um die physikalischen Grundlagen - ein paar Begriffe (zum Beispiel auch die Wärmekapazität) werden dort kurz erklärt.

Etwas Physik - Wärme und Temperatur

Physik - Wärme und Temperatur

Was bedeutet es, wenn wir sagen ein Körper hat eine gewisse Temperatur \(T\)? Physikalisch gesehen ist die innere Energie \(Q\) eines Körpers dafür ausschlaggebend. In diesem Zusammenhang ist dann oft auch von Wärme oder Wärmeenergie die Rede. Ist etwas kalt so ist einfach weniger Energie bzw. Wärme vorhanden als bei einem wärmeren, gleich beschaffenem Vergleichsobjekt.

Objekte können also erwärmt werden, indem ihnen Energie zugeführt wird. Um einen Liter Wasser (=\(1\) kg Wasser) zu erwärmen, kann man zum Beispiel einen Wasserkocher verwenden. Wie viel Energie nun benötigt wird um dieses Kilogramm um ein Kelvin (= 1°C) zu erwärmen gibt ein Materialparameter an. Die spezifische Wärmekapazität \(c_V\). Für Wasser bedeutet dies, dass \(4 182\) Joule notwendig sind um unseren Liter von 20°C auf 21°C zu erwärmen. \(4 182\) Joule - das entspricht der Energie, die notwendig ist um \(100\) kg vom Erdgeschoß in den ersten Stock zu heben (wenn ein Stockwerk ca. \(4.3\) m hoch ist). Gar nicht so wenig also!

Was hier nun wichtig ist - wir haben eine Methode um zu berechnen wie viel Energie notwendig ist um die Temperatur eines Objekts oder Körpers um eine gewissen Wert zu ändern!

 

Rechenbeispiel - Wärme und Temperatur

Rechenbeispiel - Wärme und Temperatur

Wir wollen \(1\) kg Wasser von \(20\) °C auf \(100\) °C erwärmen. Zur Verfügung haben wir einen Wasserkocher der mit \(P = 2500\) W Leistung betrieben werden kann. Wie lange muss man warten bis man sich Tee machen kann?

Überlegen wir zunächst kurz was \(2500\) W Leistung bedeuten - das W steht hierbei für Watt und ist eigentlich nur eine verkürzte Schreibweise für Energie (Joule) pro Sekunde, also J/s. Mit obigem Wasserkocher könnten wir also den Liter Wasser in ca. \(1.7\) s um 1°C erhitzen.

Wir wollen ihn allerdings um \(\Delta T=80\) °C aufwärmen! Die spezifische Wärmekapazität kennen wir bereits, sie ist für \(20\) °C warmes Wasser \(c_V=4182\) J/kgK. Nehmen wir an, dass sich diese bis \(100\) °C nicht ändert. Das ist zwar vereinfachend, kann jedoch solange der Siedepunkt nicht früher erreicht wird erstmal angenommen werden.

Die Wärmeenergie die zugeführt werden muss ist

\[ \Delta Q = c_V \cdot m\cdot \Delta T \]

Da \(m=1\) kg ist \(\Delta Q=334560J\). Nun ist nur mehr ein letzter Schritt notwendig. Wir kennen die Energie die aufgebracht werden muss, und wir kennen die Rate mit der Energie pro Sekunde zugeführt wird - die Leistung des Wasserkochers. Also bleibt nur mehr eine Divison auszuführen:

\[ t = \frac{\Delta Q}{P} = 134\; \text{s} \approx 2.2\; \text{Minuten}\]

 

Wissen und Annahmen die wir treffen

Allgemeines

Natürlich muss man immer irgendwelche Annahmen treffen - wir gehen zum Beispiel davon aus, dass es sich bei Luke und Han um Menschen handelt - oder zumindest um Lebewesen die uns Menschen in den relevanten Belangen ähnlich sind. Wir kennen (unter dieser Annahme) die Körpertemperaturen der beteiligten Charaktere. Im Fall von Luke nehmen wir 37°C an - gehen also vorerst davon aus, dass er noch nicht unterkühlt ist sondern nur erschöpft.

Der Planet Hoth

Was wissen wir über die Umweltbedingungen? Die mittlere Temperatur auf Hoth in Äquatornähe sollte bei Nacht bei ca. \(T_A =-60\;^o\text{C}\) liegen.

Die Windgeschwindigkeit ist für die Abkühlung auch noch ein wichtiger Faktor. Wir können nur versuchen sie aus dem Film abzuschätzen oder aber einen typischen Wert einer vergleichbaren Eiswüste heranziehen. Auf dieser Seite wird die mittlere Windgeschwindigkeit in der Antarktis mit \(37\;\text{km/h}\) angegeben. Da es im Film doch etwas stürmischer aussieht verdoppeln wir diesen Wert und verwenden  \(74\;\text{km/h}\) bzw. \(v_W\approx 20\;\text{m/s}\). Damit liegen wir immer noch deutlich unter der maximal in Böen gemessenem Geschwindigkeit von \(248.4\;\text{km/h}\).

Luke

Machen wir weiter mit Überlegungen zu Luke. Erstmal müssen wir wissen, wieviel Wärme ein Mensch pro Gewicht und Temperatur speichern kann. Die gesuchte Größe nennt sich spezifische Wärmekapazität und zum unserem Glück gibt es Untersuchungen dazu wie groß diese für Menschen etwa ausfällt (Takata 1977, Giering 1995). Ist der Anteil von Wasser \(W\) am Körpergewicht bekannt, ist die spezifische Wärmekapazität durch

\[ c(W) = 4190(0.37+0.63W)\]

gegeben. Aber wie kommen wir auf \(W\)?

In einem Paper (Watson 1980) habe ich schließlich noch herausgefunden, wie wir \(W_\text{Luke}\) für Luke abschätzen können. Es liefert uns eine Funktion welche aus dem Alter \(a\) in Jahren, Größe \(h\) in Metern und Gesamtgewicht \(m\) in kg den Wassergehalt berechnet. Dabei wurden damals schlicht viele Männer und Frauen vermessen und abhängig vom Geschlecht die Funktion ausgewählt, welche die Messwerte anhand der vorliegenden Parameter am besten beschreibt. Das ist zwar keine physikalische Erklärung aber für unsere Zwecke ausreichend.

Die Wassergehaltsfunktion

\[ W_\text{Luke}(a,h,m) = \frac{1}{m} \left( 2.447 - 0.09516a + 10.74h + 0.336m \right) \]

 

Bleibt noch zu klären, wo wir Lukes Maße herbekommen. Zum Glück gibt es auch recht ausführliche Nachschlagwerke dafür. Also ist \(m=77\;\text{kg}\), \(h=1.72\;m\) und auch das Alter in irdischen Jahren zum Zeitpunkt der Stationierung auf Hoth mit \(a\approx 22\;\text{J}\) erhalten wir nach kurzem Studium des Kalendersystems. Wir erhalten

\[ W_\text{Luke} =0.58 \]

\[ c_\text{Luke} = 3083 \;\text{J/kgK} \]

So weit so gut. Der Wert für \(c_\text{Luke}\) ist übrigens ein Mittelwert über die Wärmekapazitäten aller Organe, Knochen und Körperflüssigkeiten und was sich sonst noch so in einem menschlichen Körper befindet. Der Wert scheint plausibel denn er ist kleiner als jener für Wasser (ca. \(4182\;\text{J/kgK}\)). Das würde man auch erwarten da ja in einem Körper auch noch andere Teile als Wasser sind - wie zum Beispiel Knochen - und diese weisen geringere Wärmekapazitäten auf.

Geht man davon aus, dass Luke zum Zeitpunkt als Han ihn findet noch nicht unterkühlt ist, so können wir seine Körpertemperatur mit \(37\;^o\text{C}\) annehmen. Bei bereits leichter Unterkühlung wäre eine passendere Körpertemperatur bei \(35\;^o\text{C}\). Moderate Hypothermie setzt ein bei \(32\;^o\text{C}\), schwere - und vermutlich tödliche - bei \(28\;^o\text{C}\).

Ein paar Daten von Luke Skywalker (C) <a href="http://juliagingras.com/">Julia Gingras</a>
Ein paar Daten von Luke Skywalker (C) Julia Gingras

Das Tauntaun

Machen wir nun weiter mit dem Tauntaun und zwar mit folgender Vereinfachung: Wir nehmen an, dass es ähnliche thermophysikalische Eigenschaften (also zum Beispiel die Wärmekapazität) hat wie Luke. Das ist nicht ganz abwegig, sofern die Gewebearten ähnlich sind.

Weiters nehmen wir an, dass es eine isolierende äußere Schicht der Dicke \(d\) hat. Im Film ist ersichtlich, dass das Tier zumindest eine Fellschicht besitzt. Da es sich bei dem Tauntaun ja um ein Lebewesen handelt vermuten wir nun, dass sich unter dem Fell eine Fettschicht befindet. Körperfett hat in etwa eine Wärmeleitfähigkeit von \(\lambda=0.38\;\text{W/mK}\). Je größer dieser Wert wäre desto schlechter isolierend die Schicht.

Darunter befinden sich schließlich die Muskeln und Innereien des Tauntauns, und auch Luke Skywalker. Alle Wärme die diese Teile in Summe besitzen muss durch diese Isolationsschicht durch.

Jetzt müssen wir noch das Gewicht des Tauntauns kennen. Im Film wirkt es von der Größe her in Relation zu Han Solo in etwa vergleichbar mit einem Pferd. Die mittlere Masse eines größeren Reitpferdes beträgt ca. 550kg. Wir verwenden also für eine erste Näherung \(m_\text{Tauntaun}=550\;\text{kg}\), wobei mancherorts mit einer Masse von über \(1300\;\text{kg}\) spekuliert wird. Wir vernachlässigen mit dem angenommenen Gewicht vermutlich den Schwanz den die Tauntauns verwenden um die Balance zu halten, allerdings hat dieser auch keinen so großen Einfluss auf den Abkühlprozess da sein Gewicht (vermutlich) viel geringer ist als das des restlichen Körpers.

Später wird es auch relevant zu wissen, wie groß die Oberfläche ist, welche das Tauntaun seiner Umwelt zuwendet. Zu diesem Zweck stellen wir uns das Tauntaun jetzt als halben auf dem Boden liegenden Zylinder vor (Turnpenny 2000). Als Radius nehmen wir \(0.7\;\text{m}\) an und als Länge \(1.5\;\text{m}\). Das ergibt eine Oberfläche von knapp \(A=4.8\;\text{m}^2\).

Einige Daten über Tauntauns (C) <a href="http://juliagingras.com/">Julia Gingras</a>
Einige Daten über Tauntauns (C) Julia Gingras

Das Notquartier

Viel wurde schon darüber diskutiert, welche Art Quartier Han errichtet hat. Manche vermuten, dass er ein Zelt welches er an Bord des Millenium Falcons hat mitgebracht hat. Andere tendieren eher zu der Hypothese, dass er mit futuristischem Werkzeug ein Iglo gebaut hat. Ein Zelt (vor allem im Star Wars Universum) ließe sich wahrscheinlich innerhalb von wenigen Minuten errichten. Wie sieht es mit dem Bau eines Iglos aus?

Da ich selbst keine Erfahrung mit dem Iglobau habe muss ich Angaben von Leuten heranziehen, die das öfter machen. Laut dieser Seite kann der Bau eines Iglos - abhängig von der eigenen Erfahrung und wie extravagant es werden soll - zwischen 3 und 6 Stunden dauern. Wenn wir jetzt annehmen, dass Han fortschrittliches Werkzeug hat (also einen Laserschneider oder ähnliches), dann kann er diese Zeit vielleicht auf 1 bis 2 Stunden verkürzen. So lange muss Luke also durchhalten.

Jetzt haben wir alle Daten beinander die wir brauchen.

Han Solo beim zerkleinern von Eis um ein Iglo zu errichten (C) <a href="http://juliagingras.com/">Julia Gingras</a>
Han Solo beim zerkleinern von Schnee um ein Iglo zu errichten (C) Julia Gingras

Physik - wie etwas abkühlt

Das Newton'sche Abkühlungsgesetz

Sehr oft wird bei der Behandlung dieses Problems an dieser Stelle nun das Newton'sche Abkühlungsgesetz herangezogen um die Änderung der Temperatur zu beschreiben. Es besagt nichts anderes als das die Abkühlungsrate direkt von der Temperaturdifferenz des Körpers zu seiner Umgebung abhängt. Für den von uns betrachteten Fall ist diese Differenz zu Beginn \(97K\). Im folgenden ausklappbaren Absatz ist das Abkühlungsgesetz ausgeschrieben und die weiteren Größen die einen Einfluss haben werden erklärt.

Das Newton'sche Abkühlungsgesetz

\[ \frac{c m}{A} \frac{dT}{dt} = U (T(t)-TA )\]

Was ich vorher Abkühlungsrate genannt habe ist die Ableitung \(dT/dt\). Diese sagt uns wieviel Kelvin pro Sekunde das Luketauntaun zu einem bestimmten Zeitpunkt auskühlt. Der Faktor \(U\) ist der sogenannte U-Wert, zumeist ist hier schlicht von einem Wärmeübergangskoeffizienten die Rede. Im Hinblick auf später verwenden wir aber bereits jetzt diese Bezeichnung. Grob gesagt verrät uns der U-Wert, wie viel Wärme pro Sekunde, Fläche und Kelvin verloren geht. Klar, je mehr Fläche etwas zu seiner Umgebung hat, desto mehr Möglichkeit gibt es dort Wärme abzugeben. Und je höher die Temperatur im Vergleich zur Umgebung ist, desto größer der Wärmeverlust.

Wir stellen außerdem noch fest, dass sich die Temperatur um so langsamer ändert je größer die Wärmekapazität des Systems ist - diese ist das Produkt \(c\;m\). Anschaulich kennt man das Phänomen vielleicht daher: Nimmt man auf ein Festival eine Isolationsbox aus zB. Styropor mit und gibt zuhause noch kalte Getränke hinein werden diese um so länger kalt bleiben um so mehr man davon hineinpackt. Je mehr Getränke desto größer ist die Masse \(m\) und um so größer ist das Produkt \(c\;m\).

 

Arten wie Wärme auf und abgegeben werden kann

Nun könnte jemand beanstanden: "Aber was ist mit Abkühlung durch Wärmestrahlung?" Und hätte vollkommen recht mit diesem Einwand - denn das Netwon'sche Abkühlungsgesetz berücksichtigt diese nicht mit. Körper ändern ihre Temperatur nicht nur weil sie in Kontakt mit einem anderen Körper unterschiedlicher Temperatur (Wärmeleitung) oder einem Fluid wie  Luft oder Wasser (Konvektion) sind. Sie geben auch Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung (Licht) ab. Dieses Prinzip machen sich unter anderem Infrarotkameras zunutze.

Kurz gefasst lässt sich die Abkühlung durch Wärmestrahlung mit dem Stefan-Boltzmann Gesetz beschreiben. Genauer gesagt durch die Differenz zwischen dem, was das Tauntaun abstrahlt und dem was aus der Umgebung abgestrahlt wird und wieder beim Tauntaun eintrifft.

Stefan-Boltzmann Gesetz

\[ P = \epsilon \sigma T_O^4 \]

Dabei steht \(\epsilon\) für den Emissionskoeffizienten und \(\sigma\) für die Stefan Boltzmann Konstante. Es sagt uns, welche Strahlungsleistung pro Quadratmeter von einem Körper mit Oberflächentemperatur \(T_O\) abgegeben wird.

Die tatsächlich verlorene Wärme ergibt sich schließlich aus der Differenz von an die Umgebung abgegebener Strahlung und von der Umgebung aufgenommener Strahlung.

 

Zu unserem Pech hängt der Wärmeverlust durch Strahlung von der Differenz \(T_O^4-T_A^4\) ab. Aber wir haben auch Glück! Wegen der hohen Windgeschwindigkeiten auf Hoth ist der Wärmeverlust durch Konvektion in dem Temperaturbereich der uns interessiert fast 10 mal so groß wie der durch Strahlung! Das heißt, wir können Wärmestrahlung in guter Näherung für unsere Überlegungen vernachlässigen. Ein ähnliches Argument lässt sich auch für die Wärmeleitung in den Boden vorbringen.

Das ist jedenfalls erfreulich, so bleiben wir also beim vergleichsweise einfach zu handhabenden Newton'schen Abkühlungsgesetz.

Die Temperaturfunktion

Wenn wir nun noch die dadurch gegebene Differentialgleichung lösen erhalten wir die gesuchte Funktion für die Körpertemperatur des Luketauntauns:

\[T(t) = (T_0 - T_A) e^{-\frac{U A}{C} t} + T_A\]

Die meisten Größen kennen wir schon. Es ist \(C=c (m_\text{Luke}+m_\text{Tauntaun})\) die Wärmekapazität des Luketauntauns,  \(A\) die der Umwelt zugewandte Oberfläche des Tauntauns und \(U\) der U-Wert dieses Systems. Dieser hängt ab von der Isolationsschichtdicke \(d\), ihrer Wärmeleitfähigkeit \(\lambda\) und der Wärmeübergangskoeffizienten an der Innen und Außenseite der Fettschicht. In der ausklappbaren Box ist die komplette Formel und etwas mehr Erklärung zu finden.

Der U-Wert des Luketauntauns

Der U-Wert ist eine Größe welche angibt, wieviel Wärme pro Sekunde pro Fläche ausgetauscht wird. Um so größer die Fläche ist, die einen Körper von seiner Umwelt abgrenzt, um so mehr Wärme kann durch diese transportiert werden.

\[U=\frac{1}{\frac{1}{\alpha_\text{Luft}} + \frac{d}{\lambda} + \frac{1}{\alpha_\text{Wasser}} }\]

Natürlich hängt dies auch noch von anderen Faktoren ab - den Wärmeübergangskoeffizienten auf der Innen- und Außenseite zum Beispiel. Diese sind um so höher je besser dort Wärme ausgetauscht werden kann (Wasser kann dies besser als Luft). In unserem Fall haben wir auf der Außenseite strömende Luft, also \(\alpha_\text{Luft}=3+3v_W\;\text{W/m}^2\text{K}\) und auf der anderen ein Gemisch aus Blut und Körperflüssigkeiten welches wir als ruhendem Wasser ähnlich beschreiben. Daher \(\alpha_\text{Wasser}\approx 500\;\text{W/m}^2\text{K}\).

Was aber auch noch Einfluss hat ist die Zusammensetzung der Isolationsschicht! Natürlich geht weniger Wärme verloren wenn diese aus thermisch isolierendem Material ist, also zum Beispiel Fett. Im Vergleich dazu ginge mehr Wärme verloren wenn die Schicht aus sehr gut wärmeleitendem Kupfer bestünde. Auch spielt die Dicke \(d\) eine Rolle - eine 1m dicke Schicht isoliert sehr gut, während eine papierdünne sehr hohe Wärmeverluste bedeutet.

 

Überprüfen des Modelles

Nun haben wir einiges hergeleitet, einige Gleichungen hingeschrieben und können berechtigterweise fragen: "Ja beschreibt das jetzt wirklich das was passiert?". Grundsätzlich ist das Newton'sche Abkühlungsgesetz in seinem Gültigkeitsbereich (solange Wärmeabstrahlung keine zu großen Verluste verursacht) sehr gut bestätigt. Im Fall von Luke und dem Tauntaun ist es aber sicher nur näherungsweise anwendbar - wir haben doch sehr vereinfacht - aber es sollte innerhalb eines gewissen Zeitraums verwendbare Vorhersagen liefern. Viele Parameter haben wir nach bestem Wissen und Gewissen abgeschätzt. Ein paar Fehler werden sich addieren, ein paar werden sich wegheben. Aber um sicher zu gehen überlegen wir uns im Ergebnisteil nachher ein Szenario für den schlechtesten und den besten Fall für Luke.

Jetzt wollen wir aber unser Modell erstmal überprüfen. Ich hatte noch ein paar Messdaten einer Isolationsbox auf meiner Festplatte herumliegen. Dabei wurden ca. 4.1l Wasser in einzelne 100ml Fläschchen gefüllt, auf 35°C erwärmt, in eine Styropor-Isolationsbox gestellt, und diese dann in einem Kühlraum bei -15°C gelassen. Ein Messgerät hat die Temperatur des Wassers aufgezeichnet. Eigentlich eine ganz gute Messreihe um unser Modell zu testen!

Styropor Isolationsbox mit einer Oberfläche von ca. 0.6m² und 2cm Wandstärke.
Die getestete Styropor Isolationsbox mit einer Oberfläche von ca. 0.6m² und 2cm Wandstärke.

Mit den angegebenen Informationen können wir den U-Wert und \(C\) berechnen und das Ergebniss der Temperaturfunktion für verschiedene Zeitpunkte plotten und mit der Messung vergleichen:

Gemessene Temperatur verglichen mit der vom Modell vorhergesagten.
Gemessene Temperatur verglichen mit der vom Modell vorhergesagten.

Das sieht ja ganz gut aus! Am Anfang liegen wir etwa ein Grad daneben, nach zehn Stunden immer noch weniger als 5°C. Für den Fall von Luke und Tauntaun sind wir aber ohnehin nur an Zeiträumen von bis zu 2 Stunden interessiert.

Trotzdem können wir kurz überlegen weshalb wir Abweichungen feststellen. Zum einen gilt eine von uns getroffene Voraussetzung in diesem Fall nicht - denn in einem Kühlraum geht normalerweise nicht wirklich viel Wind. Daher ist wahrscheinlich der Wärmeverlust durch Strahlungsabgabe in diesem Fall nicht vernachlässigbar. Zusätzlich ist auch die Kühlraumtemperatur selbst nicht konstant bei \(-15\;^o\text{C}\) sondern Schwankungen unterworfen. Diese kommend durch "stoßweises" Kühlen zustande: Übersteigt die Temperatur im Kühlraum einen gewissen Wert springt die Kühlung an und läuft solange bis eine tiefere Temperatur erreicht wurde. Dann schaltet sie sich weider ab. Zu Beginn der Messung ist der Kühlraum außerdem deutlich wärmer als zu späteren Zeitpunkten - immerhin war die Tür für zumindest kurze Zeit geöffnet um die Box hineinzubringen und den Messaufbau vorzunehmen. Dies sind alles Faktoren die den Abkühlprozess beeinflussen. Tatsächlich könnten wir diese auch mitberücksichtigen! Aber für die ersten vier Stunden sind wir - selbst mit allen getroffenen Vereinfachungen - mit dem Ergebnis zufrieden.

Für Neugierige ist im Folgenden ausklappbaren Teil eine etwas detailliertere Variante der Modellierung des Problems festgehalten.

Was wir lösen könnten...

Differentialgleichungen

Um die Genauigkeit zu erhöhen und Wärmestrahlung mit zu berücksichtigen könnten wir ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem mit passenden Randbedingungen lösen (bzw. numerisch berechnen). Dieses berücksichtigt dann auch mit, und dass auf der Außenseite am Tauntaunfell eine andere Temperatur vorherrscht als an der Innenseite der Haut. Das ist wichtig, denn wäre die Felltemperatur immer gleich der Temperatur der Tauntauninnereien, dann würde entsprechend zuviel Strahlung abgegeben.

Wir starten mit der (vereinfachten) 1-dimensionalen Wärmeleitungsgleichung die die Temperaturverteilung in der Isolationsschicht beschreibt. Diese Schicht erstreckt sich entlang der x-Achse von \(0\) bis \(d\). Die Außenseite ist bei \(x=d\) und die Innenseite bei \(x=0\).

\[\frac{dT_W(x,t)}{dt} = \kappa \frac{d^2T_W(x,t)}{dx^2}\]

Außerdem verwenden wir eine Wärmebilanzgleichung die angibt auf welche Art und Weise das System Luke-Tauntaun Wärme verlieren kann.

\[\frac{c m}{A} \frac{dT_I(t)}{dt} = \alpha_\text{innen} \left(T_W(0,t) - T_I(t)\right)\]

Die rechte Seite der Gleichung besagt, dass dies nur über konvektiven Wärmeaustausch mit der Innenseite der Isolationsschicht bei \(x=0\) stattfinden kann.

Die Randbedingungen für die Wärmeleitungsgleichung geben schließlich an, wie die Isolationsschicht Wärme aufnehmen und abgeben kann. Einerseit erhält sie auf der Innenseite Wärme von den Innereien des Tauntauns und Luke selbst:

\[\lambda \cdot \frac{dT_W(x,t)}{dx}\bigg|_{x=0} = K(\alpha_\text{innen})\]

andererseits verliert sie an der Außenseite aufgrund von Konvektion und Strahlung Wärme.

\[\lambda \cdot \frac{dT_W(x,t)}{dx}\bigg|_{x=d} = K(\alpha_\text{aussen}) + R\]

mit

\[R=\epsilon \sigma \left( T_U^4 - T_W(d,t)^4\right)\]

und dem konvektiven Term

\[K(\alpha)=\alpha\left(T_W(0,t) -T_I(t)\right)\]

Hier ist \(\epsilon\) der Emissionskoeffizient der Oberfläche und \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann Konstante.

Um dieses System zu lösen habe ich eine kleine numerische Simulation programmiert - Details zu dieser werden aber Bestandteil eines anderen Artikels sein, wir wollen hier nicht zu weit abschweifen.

 

Ergebnisse

Um ein paar Zeiten zu berechnen variieren wir unsere Parameter und sehen, was sich ergibt. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle - den schlimmsten und den besten Fall. Grundsätzlich rechnen wir aber ohnehin eher mit einer für Luke schwierigeren Situation - denn Tauntauns haben ja offensichtlich ein recht dichtes Fell. In unseren Gleichungen kommt das allerdings nicht vor. Der Effekt den wir dadurch erwarten ist, dass die Schichtdicken die wir berechnen dicker sind als sie eigentlich sein müssten um Lukes Überleben zu sichern.

Der schlimmste Fall

Hier wählen wir einige Parameter bei denen wir uns nicht ganz sicher sind so wie sie am schlechtesten für Lukes Überleben wären. Wir gehen also davon aus, dass das Tauntaun bereits etwas ausgekühlt ist nachdem es verstorben ist und Luke leicht unterkühlt ist als Han ihn findet. Wir starten also bei \(T_0=35\;^o\text{C}\). Die Windgeschwindigkeit nehmen wir für diesen Fall mit \(30\;\text{m/s}\) an. Außerdem gehen wir davon aus, dass Han für die Errichtung und Bereitmachung des Iglos zumindest 2 Stunden benötigt. Vielleicht sinkt die Umgebungstemperatur ja auch noch stark während es Nacht wird, nehmen wir also auch \(T_A=-80\;^o\text{C}\) an. Natürlich können wir uns auch bei der Masse des Tauntauns verschätzt haben, eventuell sind diese leichter als schwere Reitpferde? Daher setzen wir für den schlimmsten Fall auch \(m_\text{Tauntaun}=450\;\text{kg}\).

Jetzt berechnen wir für verschiedene Fettschichtdicken den Temperaturverlauf.

Temperaturkurven für den für Luke schlechtestmöglichen Fall. Erst ab einer Fettschichtdicke von 7cm hat Han gerade noch ausreichend Zeit um ein Iglo aufzubauen.
Temperaturkurven für den für Luke schlechtestmöglichen Fall. Erst ab einer Fettschichtdicke von 7cm hat Han gerade noch ausreichend Zeit um ein Iglo aufzubauen.

In der vorigen Abbildung sind einige Kurven eingezeichnet, jeweils mit der Beschriftung für welche Dicke der Fettschicht gerechnet wurde. Es gilt: Je gelber desto besser für Luke. Um so länger seine Körpertemperatur über \(28\;^o\text{C}\) verbleibt desto besser seine Überlebenschancen. Wir stellen für den schlimmst angenommenen Fall also fest:

Wenn die Fettschicht des Tauntauns zumindest \(7\;\text{cm}\) dick ist erleidet Luke keine Hypothermie während Han das Notquartier aufbaut. Allerdings steht er knapp davor und ein bisschen Sicherheit wäre nicht schlecht. Bei \(8\;\text{cm}\) Schichtdicke hätte Luke immerhin noch eine Körpertemperatur von ca. \(29\;^o\text{C}\) - noch immer sehr niedrig aber doch schon mit besseren Überlebenschancen verbunden.

Das Ergebnis für den schlimmsten Fall ist also: Ab einer Fettschichtdicke von \(8\;\text{cm}\) besteht für Luke die Chance die Nacht zu überleben.

Der beste Fall

Wir gehen vor wie beim schlimmsten Fall - nur wählen wir jetzt die Parameter so wie sie für Lukes Überleben günstiger sind. Das heißt \(T_A=-60\;^o\text{C}\), \(T_0=37\;^o\text{C}\), \(v_W=20\;\text{m/s}\), \(m_\text{Tauntaun}=550\;\text{kg}\) und die Iglobauzeit beträgt nur \(60\;\text{min}\).

 

Temperaturkurven für den für Luke schlechtestmöglichen Fall. Ab einer Fettschichtdicke von 2cm hat Han ausreichend Zeit um ein Iglo aufzubauen.
Temperaturkurven für den für Luke bestmöglichen Fall. Ab einer Fettschichtdicke von 2cm hat Han ausreichend Zeit um ein Iglo aufzubauen.

Die Wahl der Parameter begünstigt Luke's Chancen nicht unbeträchtlich - nun reicht bereits eine Fettschichtdicke von \(2\;\text{cm}\) um sein Überleben zu sichern.

Notiz - Temperaturfunktion

Natürlich könnten wir die Temperaturfunktion auch einfach dahingehend umformen, dass wir aus den Eckdaten direkt die notwendige Schichtdicke berechnen können. Ich fand es aber einfach netter ein paar Kurven zu plotten. Die Schichtdickefunktion ist:

\[ d=- \lambda \left[ t_\text{Bauzeit} \left(C \ln{\left(\frac{T_\text{hypothermie}-T_A}{T_0-T_A}\right)}\right)^{-1}-\left(\frac{1}{\alpha_\text{Luft}}+\frac{1}{\alpha_\text{Wasser}}\right)\right]\]

Sieht vielleicht etwas kompliziert aus, aber eigentlich muss man nur die Werte einsetzen. Außerdem kann direkt abgelesen werden, welche Paramter die zum Überleben nötige Schichtdicke in welche Richtung beeinflussen! Zum Beispiel ist direkt ersichtlich, dass ein großes \(\lambda\) ungünstig ist (weil es die Schichtdicke erhöht). Aber woran sieht man das? Wirft man einen Blick auf die Gleichung sieht man, dass \(\lambda\) alles innerhalb der eckigen Klammer multipliziert. Wird \(\lambda\) also erhöht wächst das Ergebnis insgesamt an!

 

Resümee

Nach allen Vorarbeiten können wir sagen, dass Luke's Chancen dann gut stehen wenn das Tauntaun eine isolierende Fettschicht besitzt die zwischen \(2\;\text{cm}\) und \(8\;\text{cm}\) dick ist!

Immer wenn man ein Ergebnis vor sich hat lohnt es sich zunächst mal darüber nachzudenken und zu überlegen ob es sinnvoll oder realistisch ist. In unserem Fall können wir wieder mit irdischen Lebewesen vergleichen die (wie die Tauntauns) in ihrer natürlichen Umgebung ähnlich extremen Bedingungen ausgesetzt sind. Ein Eisbär zum Beispiel. Und siehe da, diese können Fettschichten besitzen die bis zu \(8.6\;\text{cm}\) dick sind!

Ein weiterer Grund für Luke's Überleben ist auch die große Masse des Tauntauns. Dieses ist mindestens 6 mal so schwer die Luke und besteht unter anderem aus sehr gut Wärme speicherndem, wasserhaltigem Gewebe. So viel Wärme abzuführen dauert einfach seine Zeit!

Natürlich haben wir ein paar Vereinfachungen gemacht: So haben wir unter anderem die Schnittwunde am Tauntaunbauch vernachlässigt - durch diese wird ebenfalls Wärme verloren gehen. Aber wir gehen davon aus, dass Han diese so gut wie möglich abgeschirmt oder verschlossen hat. Luke's Körper produziert ebenfalls etwas Wärme, allerdings fällt diese im Vergleich zu den Wärmeströmen die Verluste verursachen sehr gering aus.

Alles in allem hat Luke also tatsächlich gute Chancen zu überleben ohne eine schwere Hypothermie zu erleiden. Auf zusätzliche Probleme die sich daraus ergeben könnten, dass man ein paar Stunden in den Innereien eines anderen Lebewesens verbringt (Atemluft, Infektionen, etc.) möchte ich an dieser Stelle nicht eingehen.

Übrigens sind unsere Ergebnisse auch konsistent mit den Ergebnissen der Mythbusters Folge! Wählen wir die Parameter so wie in der Episode angegeben kommen wir mit einer Fettschicht von ca. \(2\;\text{cm}\) nach \(2.5\;\text{h}\) auf eine Temperatur von \(33^o\;\text{C}\).

Konklusion: Die Annahme, dass Luke überlebt führt nicht zu unrealistischen Eigenschaften des Tauntauns! Die berechnete Fettschichtdicke ist durchaus möglich wie sich bei einem Vergleich mit irdischen Lebewesen (der Eisbär!) zeigt.

 

Danksagung

Abschließend noch ein Dankeschön an Julia Gingras für ihre Illustrationen - wenn ihr mehr von ihren Arbeiten sehen wollt - ihre Homepage ist der richtige Ort dafür.

Editierung am 18.12.2014:
Aufgrund sehr wertvollen Feedbacks habe ich einen zusätzlichen Abschnitt hinzugefügt in welchem kurz diskutiert wodurch die Abweichungen von Messung und Vorhersage im Abschnitt "Überprüfen des Modelles" zustande kommen.

 

Literatur

J.R. Turnpenny et. al., 2000, Thermal balance of livestock: 1. A parsimonious model. Agricultural and Forest Meteorology, Vol. 101, 1, pp15–27

K. Giering, 1995, Determination of the specific heat capacity of healthy and tumorous human tissue, Thermochimica Acta, Vol. 251, pp199-205.

A.N. Takata et. al., 1977, Laser-induced thermal damage of skin, USAF school of aerospace medicine.

P.E. Watson et. al., 1980, Total body water volumes for adult males and females estimated from simple anthropometric measurements, The American Journal of Clinical Nutrition, Vol. 33, pp27-39.

C.T. O'Sullivan, 1990, Netwon's law of cooling - A critical assessment, American Journal of Physics, Vol. 10, pp956-960

Star Wars: TM & © Lucasfilm Ltd.

 

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Eine Infrarotkamera der Firma FLIR
Eine Infrarotkamera der Firma FLIR

In diesem Teil der "Wie funktioniert eine Infrarotkamera?" Serie beschäftigen wir uns erstmalig damit, welche Dinge man berücksichtigen muss wenn man Temperaturen mit einer Infrarotkamera messen will. Die wirkliche Welt ist nicht ideal, aber nach den letzten beiden Artikeln haben wir das nötige Rüstzeug um uns einen weiteren Schritt vorzuwagen. Heute werden wir sehen, dass das Planck'sche Strahlungsgesetz zwar sehr hilfreich ist, wir aber der Kamera noch mindestens eine weitere Information geben müssen, damit sie die Temperatur bestimmen kann.

Was zuletzt geschah

Im letzten Eintrag haben wir uns angesehen was das Prinzip hinter der Temperaturbestimmung ist. Dabei haben wir festgestellt, dass die Helligkeit die die Kamera wahrnimmt direkt mit der Temperatur eines Körpers zusammenhängt. Genauer gesagt über die Fläche unter der Kurve welche durch das Planck'sche Strahlungsgesetz gegeben ist und zwar in dem Wellenlängenbereich in welchem die Kamera sensibel ist.

Inhalt der Artikelserie

Teil 1 - Grundlegendes

Teil 2 - Temperaturbestimmung

Teil 3 - Emissionskoeffizient

Schwarze Körper

Mit dem Planck'schen Strahlungsgesetz haben wir bisher viel erklärt. Aber es beschreibt einen Idealfall - und zwar den eines sogenannten schwarzen Körpers. Der Name kommt nicht von ungefähr, kann aber mitunter etwas verwirrend sein. Ein Schwarzer Körper absorbiert jede Strahlung die auf ihn eintrifft, egal welche Wellenlänge sie hat. Wenn das jetzt alles wäre was er macht, wäre er tatsächlich schwarz. Was ihn aber noch zusätzlich auszeichnet ist der Umstand, dass er auch wieder Strahlung abgibt. Dieses charakteristische Spektrum hängt nun aber eben nur von seiner Temperatur ab!

Eine weitere Eigenschaft können wir aus dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz schließen. Es besagt, dass ein Schwarzkörper im thermischen Gleichgewicht (wenn sich die Temperatur eines Körpers also nicht ändert) genau so gut Strahlung absorbieren kann, wie er sie emittieren kann. Kein anderer Körper der nur aufgrund seiner eigenen Temperatur strahlt kann also mehr Strahlung abgeben!

Aber warum ist das so? Nun, wir haben ja den Schwarzen Körper als etwas kennengelernt das alle Strahlung die auf ihn eintrifft absorbiert. Komplett. Jetzt hat uns das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz gesagt, dass der schwarze Körper genauso gut emittiert wie er absorbiert. Nachdem er maximal absorbiert folgt, das er auch maximal emittiert. Das ist gut zu wissen und liefert uns quasi eine Referenz dafür, was höchstens möglich ist! Und das ist ja genau durch das Planck'sche Strahlungsgesetz beschrieben.

Planck'sches Strahlungsgesetz zur Erinnerung (ausklappbar)

\[w(\lambda,T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\left(\exp{\left(\frac{hc}{\lambda k_B T}\right)}-1\right)^{-1} \]

Hier steht \(c\) für die Lichtgeschwindigkeit, \(h\) das Planck'sche Wirkungsquantum, \(\lambda\) die Wellenlänge, \(k_B\) die Boltzmann Konstante und \(T\) für die absolute Temperatur des Körpers.

 

Das Planck'sche Strahlungsgesetzt ausgewertet für Körper unterschiedlicher Temperatur.
Abbildung 1 - Spektren die sich durch das Planck'sche Strahlungsgesetzt für Körper unterschiedlicher Temperatur ergeben.

Tatsächlich kann man sich "relativ" einfach etwas bauen, was in etwa einem idealen Schwarzkörper ähnelt, zum Beispiel einen hohlen Quader. Malt man diesen innen nun schwarz an und bohrt ein kleines Loch in eine Wand dann wird etwas Licht hineinkommen. Dieses wird an den Wänden innen dann immer wieder reflektiert und immer weiter abgeschwächt - nur sehr wenig wird wieder durch die kleine Bohrung nach draußen gelangen. Beobachtet man dann die elektromagnetische Strahlung welche die Öffnung verlässt mit einem Spektrometer, würde man erwarten, dass sie den Spektren in Abbildung 1 ähnelt. Nicht perfekt weil es ja kein idealer Schwarzkörper ist, aber doch ähnlich. Aus diesem Grund ist die Schwarzkörperstrahlung auch unter dem Namen Hohlraumstrahlung bekannt.

Das Prinzip eines Schwarzkörpers.
Abbildung 2 - Das Prinzip eines Schwarzkörpers. (Quelle)

Es gibt übrigens einen sehr prominenten, beinahe idealen Schwarzkörper den jeder schon gesehen hat und regelmäßig sieht - die Sonne. In Abbildung 3 ist ein Vergleich der beiden Spektren gezeigt.

Vergleich Schwarzkörper mit Sonnenspektrum
Abbildung 3 - Die Sonne als Schwarzkörper - ein Vergleich der beiden Spektren. (Quelle)

Graue Körper und der Emissionsgrad

Es gibt einige Dinge in der Welt die sich ähnlich verhalten wie ein schwarzer Körper aber nicht ganz so viel Strahlung abgeben. Solche Objekte nennt man graue Körper. Sie kennzeichnen sich dadurch, dass sie um einen fixen Faktor weniger Strahlung abgeben als ein Schwarzkörper. Der Faktor heißt Emissivität und wird meistens mit \(\epsilon\) angegeben. Sie liegt für graue Körper zwischen 0 und unter 1. Kleiner als 1 deswegen, weil \(\epsilon=1\) genau dem Schwarzkörper entspräche. In der nächsten Abbildung sind die Spektren eines schwarzen und eines grauen Körpers mit \(T=400\;\text{K}\) gegenübergestellt.

Die Spektren eines grauen Körpers mit Emissionskoeffizienten 0.8 und eines schwarzen Körpers
Abbildung 4 - Vergleich der Spektren eines grauen und eines schwarzen Körpers mit T = 400 K. Die Strahlungsmaxima liegen bei der selben Wellenlänge von ca. \(7.2\;\mu\text{m}\) und sind durch eine senkrechte Linie markiert.

Eine interessante Beobachtung kann man hierbei machen - die maximale Abstrahlung liegt bei der gleichen Wellenlänge, also bei ca. \(7.2\;\mu\text{m}\). Man könnte nun vielleicht vermuten, dass ein schwarzer Körper der etwas kühler ist, also so um die \(383\;\text{K}\) das gleiche Spektrum ergäbe wie der graue Körper. Aber Achtung - wir hatten im ersten und zweiten Teil dieses Artikels bereits etwas festgestellt - das Maximum der Strahlungsabgabe wandert mit höherer Temperatur immer weiter nach links bzw. mit niedrigerer immer weiter nach rechts. Der kühlere schwarze Körper gibt also bei einer etwas größeren Wellenlänge, konkret sind es \(7.5\;\mu\text{m}\), das Maximum an Strahlung ab. Aber auch sonst stellt man, wie in der nächsten Abbildung ersichtlich, doch recht deutliche Abweichungen fest.

Die Spektren eines grauen und zweier schwarzer Körper unterschiedlicher Temperatur.
Abbildung 5 - Die Spektren eines grauen und zweier schwarzer Körper unterschiedlicher Temperatur. Die Spektren des kühleren Schwarzkörpers und des grauen Körpers stimmen nicht überein!

Der Emissionskoeffizient kann bei Infrarotkameras eingestellt werden und ist eine für sie wichtige Information um Temperaturen richtig zu messen. Dabei modifiziert die Kamera allerdings nicht die interne gespeicherte Tabelle mit der sie ankommender Strahlung eine Temperatur zuordnen kann. Tatsächlich berechnet sie nämlich - bevor sie in der Tabelle nachschlägt - aus dem Signal am Sensor wieviel Strahlung bei ihr angekommen ist. Diese Berechnung erfolgt nach der sogenannten Messgleichung welche wir in einem der Folgeartikel noch kennenlernen werden.

Als Abschluss möchte ich noch anmerken, dass auch graue Körper eine Idealisierung sind. Reale Körper emittieren zwar thermisch nie mehr als durch das Planck'sche Strahlungsgesetz gegeben, aber sie strahlen auch nicht zwangsläufig über alle Wellenlängen um einen fixen Faktor weniger ab. Die Emissivität kann von weiteren Größen abhängen wie zum Beispiel der Temperatur des Körpers, der Wellenlänge, und sogar der Richtigung in die abgestrahlt wird!

Aber glücklicherweise kann man in bestimmten Bereichen die meisten realen Körper ganz gut als graue Körper beschreiben. Und da wir in der Thermografie auch nur in bestimmten Wellenlängenbereichen messen, ein typischer Bereich den wir schon kennengelernt haben ist der von \(8-12\;\mu\text{m}\), stellt der Emissionskoeffizient hier eine wichtige Größe dar.

Die Essenz ist: Auch wenn die wirkliche Welt uns allerlei Komplikationen um die Ohren wirft, es gibt Möglichkeiten diese in den Griff zu bekommen.

Wie funktioniert eine Infrarotkamera? Temperaturbestimmung

Teil 2 - Temperaturbestimmung

Heute geht es darum, wie eine Infrarotkamera es anstellt die Temperatur zu bestimmen. Aber zuvor ein kurzer Rückblick zur Erinnerung.

Eine Infrarotkamera der Firma FLIR
Eine Infrarotkamera der Firma FLIR

Was zuletzt geschah

Inhalt der Artikelserie

Teil 1 - Grundlegendes

Teil 2 - Temperaturbestimmung

Teil 3 - Emissionskoeffizient

Im letzten Eintrag haben wir uns erstmal ganz grundlegend damit beschäftigt wo die Unterschiede zwischen einer Infrarot- und einer Digitalkamera liegen. Die Digitalkamera detektiert hauptsächlich sichtbares reflektiertes Licht aus  dem Bereich \(400-700\text{nm}\) während die Wärmebildkamera im Infrarot zwischen \(1-12 \mu \text{m}\) Licht aufzeichnet. Ein Nanometer ist dabei ein tausendstel von einem Mikrometer. Und ein Mikrometer ein tausendstel eines Millimeters.

Dann haben wir noch einen Blick auf das Planck'sche Strahlungsgesetz geworfen und anhand dessen festgestellt, warum gerade der Bereich \(1-12 \mu \text{m}\) für uns interessant ist. Dort liegt bei "üblichen" Temperaturen nämlich das Maximum der Strahlungsabgabe.

Das Adjektiv "übliche" steht deswegen unter Anführungszeichen, weil IR-Kameras tatsächlich ja auch in anderen Bereichen zum Einsatz kommen. In der Astronomie zum Beispiel an Bord von Weltraumteleskopen (Herschel Space Observatory, Spitzer Space Telescope, IRAS). Diese detektieren Strahlung im fernen Infrarot. So können zum unter anderem Staubwolken in unserer und in Nachbargalaxien beobachtet werden welche eine Temperatur von nur  -130°C haben. Bei diesen Temperaturen wird die meiste Strahlung erst bei einer Wellenlänge von \(20 \mu \text{m}\) abgegeben!

Man kann auch in die andere Richtung gehen - was passiert zum Beispiel bei höheren Temperaturen wie - sagen wir mal nicht ganz zufällig - 5500K?

Spektrum gegeben durch Plank'sches Strahlungsgesetz für 5000K heißen Körper.
1. Durch Plank'sches Strahlungsgesetz gegebenes Spektrum für einen 5500K heißen Körper.

 

In dieser Abbildung ist das Ergebnis des Planckschen Strahlungsgesetzes für einen 5500K heißen Körper geplottet - dieser hat sein Strahlungsmaximum im gelb-grünlichen Bereich des sichtbaren Spektrums. Diese 5500K sind ca. die Oberflächentemperatur unserer Sonne, und das gezeigte Farbspektrum also jenes, das unsere Augen wahrnehmen können. Bei so hohen Temperaturen bewegen wir uns wieder in dem Bereich, wo Digitalkameras zum fotografieren verwendet werden. Ist ein Körper heiß genug, strahlt er auch im sichtbaren Teil des Spektrums ab! Dies kann man zum Beispiel auch bei Metallen die weit genug erwärmt werden beobachten (Wolframdraht Glühbirne).

Aber in dieser Artikelserie bleiben wir auf der Erde und damit auch bei "alltäglicheren" Temperaturen.

Temperaturen mit einer Infrarotkamera bestimmen - Das Prinzip

Also, wie kommt man jetzt auf eine Temperatur? Hierfür ist weiterhin das Planck'sche Strahlungsgesetz hilfreich.

\[w(\lambda,T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\left(\exp{\left(\frac{hc}{\lambda k_B T}\right)}-1\right)^{-1} \]

Ausklappen für Variablenerklärung!

Hier steht \(c\) für die Lichtgeschwindigkeit, \(h\) das Planck'sche Wirkungsquantum, \(\lambda\) die Wellenlänge, \(k_B\) die Boltzmann Konstante und \(T\) für die absolute Temperatur des Körpers.

 

Zur Erinnerung nochmal die Spektren die sich für verschiedene Temperaturen ergeben.

Das Planck'sche Strahlungsgesetzt ausgewertet für Körper unterschiedlicher Temperatur.
2. Das Planck'sche Strahlungsgesetzt ausgewertet für Körper unterschiedlicher Temperatur.

Die Helligkeit die die Kamera sieht

Infrarotkameras die sich dieser häufig verwendeten Methode bedienen haben wenn man so will ein "Problem" - sie sehen zwar im Infrarotbereich, sind aber farbenblind - wobei Farben als Konzept ohnehin nur im sichtbaren Teil des Spektrums Sinn haben. Dieser Kameratyp kann also nur wahrnehmen, wie hell etwas erscheint wenn eine bestimmte Zeit lang hingesehen wird.

Wärmebild KatzeNun kann man sich wundern - denn es gibt ja aber diese farbenfrohen Thermografie Bilder die man immer sieht, wenns um das Thema geht. Was ist mit denen?

Eigentlich färben diese eben nur die verschiedenen von der Kamera wahrgenommenen Helligkeiten unterschiedlich ein! Jeder Pixel sieht einen anderen Bildausschnitt, und aus jedem trifft eine unterschiedliche Menge an Strahlung auf dem Pixel ein. Anstatt von Grautönen die den Helligkeitswert wiedergeben werden stattdessen Farbwerte zugeordnet.

Jetzt aber zur Temperaturbestimmung. Nehmen wir also an, dass unsere Kamera im Bereich \(8-12\mu \text{m}\) etwas sieht - ein typischer Abschnitt. Ziehen wir das Planck'sche Strahungsgesetz heran und sehen uns an, wie das Spektrum für einen 500K (ca. 227°C) heißen Körper aussieht - eine Herdplatte zum Beispiel. Aber diesmal zeichnen wir auch den Bereich ein, in dem die Kamera etwas detektieren kann.

Spektrum eines 500K Schwarzkörpers und exemplarisches Sichtfenster einer IR Kamera
3. Spektrum eines 500K Schwarzkörpers und exemplarisches Sichtfenster einer IR Kamera

Die Wellenlängen die die IR Kamera wahrnehmen kann liegen innerhalb dieses orangen Bereichs. Aber es ist schon etwas mehr zu sehen. Der Bereich ist nicht einfach nur durch zwei Striche markiert sondern durchweg orange eingefärbt. Dies spielt darauf an, dass die Helligkeit die die Kamera letztlich sieht davon abhängt, wie groß diese orange Fläche ist. Man kann, wenn man die nächste Abbildung betrachtet auch gut sehen, dass diese Fläche für verschieden warme Körper verschieden groß ist. Prinzipiell gilt: Je kühler desto kleiner bzw. je heißer desto größer ist diese.

Planck'sches Strahlungsgesetz für Körper verschiedener Temperatur. Das 8-12 Mikrometer Sichtfenster einer Infrarotkamera ist eingezeichnet.
4. Planck'sches Strahlungsgesetz für Körper verschiedener Temperatur. Das 8-12 Mikrometer Sichtfenster einer Infrarotkamera ist eingezeichnet.

Mathematisch berechnet man - grob gesagt - die Fläche unter einer Kurve mittels Integration. In unserem Fall sieht das zu lösende Integral so aus:

\[ \int_{8 \mu \text{m}}^{12 \mu \text{m}} w(\lambda,T) d \lambda \label{eqn_planck_integral} \]

Wir integrieren also über alle Wellenlängen im Bereich von \(8-12\mu \text{m}\). Nun haben wir die Möglichkeit die Größe der Fläche gegen die Temperatur aufzutragen. In der nächsten Abbildung kann man sich das ansehen - und man sieht schon - diese wird mit steigender Temperatur immer größer.

Von Schwarzkörper im Bereich 8-12 Mikrometer Bereich abgegebene Lichtintensität
5. Von Schwarzkörper im Bereich 8-12 Mikrometer Bereich abgegebene Lichtintensität pro Raumwinkel

Aus diesem Graph geht auch hervor, weshalb sich die Temperatur gut bestimmen lässt. Die Werte in der Kurve sind alle eindeutig, zu jeder Temperatur gehört genau eine abgestrahlte Leistung pro Fläche und Raumwinkel. Die Kamera misst also eine bestimmte Intensität pro Raumwinkel und muss nurmehr in einer gespeicherten Tabelle nachschlagen, welcher Temperatur diese entspricht.

So weit so gut. Das grundlegende Prinzip hinter der Temperaturbestimmung haben wir nun gelüftet. Im nächsten Artikel betrachten wir das ganze etwas detaillierter - Komplikationen die sich ergeben weil nicht alles ideal ist.

Wie funktioniert eine Infrarotkamera? Grundlegendes

Inhalt der Artikelserie

Teil 1 - Grundlegendes

Teil 2 - Temperaturbestimmung

Teil 3 - Emissionskoeffizient

Teil 1 - Grundlegendes

Eine Infrarotkamera der Firma FLIR
Eine Infrarotkamera der Firma FLIR

Beginnen wir mit einer anderen Frage – wo ist eigentlich der Unterschied zwischen einer Infrarot- bzw. Wärmebildkamera und einer „normalen“ Digitalkamera wie sie zum Beispiel auch in Handykameras vorkommen? Diese grundlegende Frage versuchen wir zuerst zu beantworten um einen Überblick zu bekommen, mit Details werden wir uns später noch befassen.

Das elektromagnetische Spektrum

Das elektromagnetische Spektrum.
Das elektromagnetische Spektrum.

Zunächst deutet der Name schon etwas an – es geht um unterschiedliche Arten von Licht oder Strahlung. Da Digitalkameras in etwa das ablichten sollen was wir mit unseren Augen sehen arbeiten diese im sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums (kurz "sichtbares Licht"). Dieser liegt ca. bei Wellenlängen von \( 400 - 700 \; \text{nm}\).

Im Folgenden werden die Begriffe "Licht" und "elektromagnetische Strahlung" oder kurz "Strahlung" austauschbar verwendet - Licht ist nichts anders als das.

Eine Wärmebildkamera dagegen bedient sich eines Bereichs der bei größeren Wellenlängen liegt. Wo genau dieser Ausschnitt sich befindet hängt dann unter anderem vom Detektor ab den die Kamera verwendet. Angesiedelt sind allerdings alle üblicherweise zwischen \(1-12 \; \mu \text{m}\). Warum das so ist werden wir später noch sehen.

Damit haben wir einen ersten Unterschied zwischen Wärmebildkamera und Digitalkamera festgestellt - sie arbeiten in unterschiedlichen Regionen des elektromagnetischen Spektrums. Die WB-Kamera kann für Menschen nicht sichtbare Strahlung detektieren.

Das ist aber noch nicht alles.

Reflektierte und emittierte Strahlung

Macht man mit dem Handy ein Foto passiert folgendes: Das Licht der vor einem liegenden Szenerie trifft auf das Linsensystem der Kamera und kommt schließlich bei einem Detektor an. Dieses Licht wird aber nicht von den Gegenständen selbst abgegeben sondern kommt dabei ursprünglich von irgendwelchen Lichtquellen. Sonne, Lampen oder Kerzen zum Beispiel.

Der wichtige Punkt ist: Der allergrößte Teil von dem was wir sehen ist reflektiertes sichtbares Licht. Der Großteil der Dinge in unserer Welt emittiert nur wenig im sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums.

Alles emittiert elektromagnetische Strahlung

Dinge in unsrer Welt geben zwar wenig Strahlung im sichtbaren Bereich des Spektrums ab ABER sehr wohl in anderen Bereichen. Bei der Frage nach dem wieviel und in was für einem Wellenlängenbereich ist etwas Physik hilfreich.

Im einfachsten Fall wird dies alles durch das Planck'sche Strahlungsgesetz beschrieben.

\[w(\lambda,T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\left(\exp{\left(\frac{hc}{\lambda k_B T}\right)}-1\right)^{-1} \]

Mit \(c\) als Lichtgeschwindigkeit, \(h\) dem Planck'schen Wirkungsquantum, \(\lambda\) der Wellenlänge, \(k_B\) der Boltzmann Konstante und \(T\) der absoluten Temperatur des Körpers.

Es sagt uns alles was wir wissen wollen. Es sagt uns welche Leistung pro Fläche ein Körper bei einer bestimmten Temperatur in Form von Strahlung in einen bestimmten Abschnitt des Raumes pro Wellenlänge abgibt. Sehen wir uns also an wie das abgegebene Spektrum für verschiedene Temperaturen eines Körpers aussieht.

Das Planck'sche Strahlungsgesetzt ausgewertet für Körper unterschiedlicher Temperatur.
Das Planck'sche Strahlungsgesetzt ausgewertet für Körper unterschiedlicher Temperatur.

Die Temperaturen sind hierbei in der Einheit Kelvin angegeben. Da 0K=-273.15°C entsprechen also 300K in etwa 27°C.

Was zunächst auffällt ist, dass das Maximum der Kurve stark wächst mit höheren Temperaturen. Von 300K auf 400K hat sich die Höhe des Maximums mehr als verdoppelt, von 400K auf 500K findet sogar eine Verdreifachung statt! Auch wandert das Maximum bei höheren Temperaturen immer weiter nach links, verschiebt sich also in kurzwelligere Bereiche.

Warum 1-12 Mikrometer?

Das Planck'schen Strahlungsgesetz zeigt, wie man am Beispiel in obiger Graphik sehen kann, warum Wärmebildkameras im Bereich \( 1-12 \mu \text{m}\) arbeiten. Objekte mit "alltäglichen" Temperaturen geben hier ein Maximum an Strahlung ab, und wie viel genau hängt eben von ihrer Temperatur ab! Das kommt uns sehr gelegen - immerhin soll ja mit einer Infrarotkamera die Temperatur bestimmt werden. Das mit dem Maximum ist dagegen wichtig weil so viel Strahlung wie möglich für die Detektion zur Verfügung stehen sollte.

Man kann sich das so vorstellen: Wer schon einmal versucht hat, im Finstren ein Foto zu machen wird festgestellt haben, dass man dieses besonders leicht verwackeln kann und die Bilder somit unscharf werden. In diesen Fällen verlängert die Kamera automatisch die Belichtungszeit, und zwar so, dass genug Licht ankommt damit am Kamerasensor noch ein ausreichend hohes Signal entsteht. Damit erkauft man sich aber eben ein eventuell verwackeltes Bild. Ausreichend hoch heißt in diesem Zusammenhang übrigens einfach: nicht komplett schwarz - das fotografierte Objekt soll sich vom Hintergrund abheben. Am hellichten Tag tritt dieses Problem nicht auf, da gibts ausreichend Licht.

Für Wärmebildkameras ist im Wellenlängenbereich quasi \(1 - 12\mu \text{m}\) immer Tag. Dort geben Objekte genug Strahlung ab die detektiert werden kann.

Um abschließend eine weitere Antwort zur ursprünglichen Frage zu geben: Eine Digitalkamera detektiert hauptsächlich reflektierte elektromagnetische Strahlung im sichtbaren Spektrum, während eine Infrarotkamera im Infrarotspektrum EM Strahlung sensibel ist.

Soweit so gut. Natürlich ist hier noch nicht Schluss, in Folgeartikeln werden wir sehen, dass doch nicht alles ganz so einfach ist wie hier beschrieben.

 

talbot_teppich

Worum wirds hier gehen?

gauss_diskretisiert

Kurz gesagt - aktuelles und vergangenes aus dem Bereich Quantenmechanik (hoffentlich) verständlich und so weit wie möglich anschaulich erklärt. Und dann noch Dinge die mir als Physiker bei der täglichen Arbeit unterkommen.

Die Arbeit als Wissenschafter (ich bin Physiker) ist ähnlich einem Puzzlespiel mit sehr vielen Teilen. Die Teile sind verschieden groß, manchmal unterscheiden sich die Farben kaum, und meistens passen auch welche zusammen, die eigentlich nicht zusammengehören. Irgendwie sollte - im Idealfall - irgendwann ein ganzes Bild rauskommen. Dazu muss man sich erstmal in die Thematik verbeißen und einen Überblick bekommen. Nachsehen, ob jemand andres vielleicht schon Teile des Puzzles zusammengesetzt hat. Überlegen ob das Teilbild das jemand anders erhalten hat Sinn macht. Eine Idee dafür bekommen, wie das Gesamte aussehen könnte.

Auf dem Weg zum Gesamtbild kommt man im Normalfall nicht ohne Hilfsmittel aus. Seien es Origin, MatLab oder Mathematica oder auch einfach mathematische Methoden wie Interpolation oder Nullstellensuche. Dabei programmiert man das eine oder andere Skript, oder schreibt für sich selbst eine kleine Zusammenfassung wie man von eindimensionaler auf beliebig-dimensionale Interpolation kommt. Ein paar der Dinge die ich gelernt habe und noch lernen werde möchte ich gern teilen. Einerseits weil ich die Erklärungen die ich manchmal gefunden habe als für mich nicht ganz ideal fand, andrerseits weil vielleicht selbst jemand grad ein Skript/Notebook für einen bestimmten Fall sucht. Und auch weil ichs schade fände ausgearbeitete Überlegungen in einer Schublade versauern zu lassen.

Das ist der erste Teil.

talbot_teppichDie Abbildung stellt einen sogenannten Talbot Teppich dar. Ein Nahfeld Beugungseffekt der bei der Untersuchung des Welle/Teilchen Dualismus von zB.: Molekülen sehr nützlich ist. Definitiv ein Kandidat für einen zukünftigen Post.

Ich möchte auch versuchen - und ich weiß noch nicht genau in welchem Ausmaß ich das betreiben kann - auch Dinge aus der aktuellen/vergangenen Forschung anschaulicher darzustellen. Da ich recht fasziniert von der Quantenmechanik bin wirds wenn dann wohl darum gehen. Allerdings habe ich auch Erfahrung auf den Gebieten Umweltwissenschaften und Laser-Materie Wechselwirkung - insofern möchte ich mich da noch nicht zu stark einschränken.